又称为“孙子定理”,是一种求解同余数组的方法。所谓数组,就是指几组数字除以某一个定值余数相同。例如13和23整除5的余数都为3,那么这两个数就是同余的。一般记做:
23≡13(mod 5)
而中国剩余定理所要解决的就是多个同余式组成的同余数组问题。
“有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二。问物几何?”就是这类问题的一个最典型的例子。
我们今天以另外一个例子来解释,中国剩余定理的解题方式。
有1个数,除以7余2.除以8余4,除以9余3,这个数至少是多少?
我们这里采用简单的分步计算,先合并题目中的2个同余条件,再进行第二次合并。
我们先把要求的那个数记做a,原始的3个条件化简为:
a≡2(mod 7) a≡4(mod 8) a≡3(mod 9)
所以a可以表示为(7n+2),其中n为正整数。又因为a≡4(mod 8),所以可以知道(7n)除以8余数应当是2。(注:7n+2除以8余4,那么7n除以8余数就一定是2)
我们知道7除以8余7,所以n除以8余数应当为6(乘数之余等于余数之乘)。
于是我们可以知道n最小为6,此时满足题意的数为6x7+2=44。
综合前两个条件,我们可以知道,44并不满足第三个条件。所以我们仍需进一步合并第三个条件。
我们知道7,8互质,所以其做小公倍数为56。所以前两个条件可以合并为:
a≡44(mod 56)
我们继续重复刚才的运算步骤,将所求数记为(56t+44),我们拆解为(54t+36+2t+8)。
因为次数除以9余3,所以可以知道(2t+8)除以9也余3。
所以2t除以9余数应当是4。自然可以知道t除以9余数应当是2。同样可知2是此时t的最小值。
此时我们所有的数为:2x56+44=156。即为满足3个题目条件的最小数字。
整体剩余定理的解题过程就是不断合并已知条件的过程,通过合并逐步找到解题的关键点:乘数之余等于余数之乘。
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